Curso: Métodos Multivariados – Maestría en Producciòn Animal Sostenible/ Control y Manejo Sustentable de enfermedades de los animales

Métodos Multivariados – Maestría en Producciòn Animal Sostenible/ Control y Manejo Sustentable de enfermedades de los animales

La Peste Porcina Africana (PPA) es una enfermedad viral hemorrágica altamente contagiosa y letal en cerdos domésticos y jabalíes. No afecta a humanos, pero causa pérdidas económicas severas. Se transmite por contacto directo, alimentos contaminados, vectores y movimientos de animales.

Se sospecha que ciertos factores de manejo influyen en la probabilidad de infección. Este ejercicio aplica álgebra matricial para realizar un análisis de varianza multivariado (MANOVA) y determinar si existen diferencias significativas en los factores de riesgo entre granjas con y sin brotes de PPA.

2. 📊 Datos  (Subconjunto Reducido para Cálculo Manual)

Se seleccionan 6 granjas (3 con PPA, 3 sin PPA) y se registran tres variables:

• X1: Número promedio de visitantes externos por semana
• X2: Distancia (km) a la granja infectada más cercana
• X3: Índice de bioseguridad (0–10)

3. 🧮 Objetivo del Análisis

Determinar, mediante álgebra matricial, si las medias multivariadas de los factores de riesgo (X1, X2) difieren significativamente entre:

• Grupo 1: Granjas con PPA (PPA = 1)
• Grupo 0: Granjas sin PPA (PPA = 0)

Hipótesis:

• $H_0:{\mathbf{\mu }}_0={\mathbf{\mu }}_1$ (no hay diferencia)
• $H_1:{\mathbf{\mu }}_0\ne {\mathbf{\mu }}_1$

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4. 📐 Procedimiento Paso a Paso (Cálculo Manual con Álgebra Matricial)

Paso 1: Matriz de datos $\mathbf{Y}$ (6 × 2)

$$\mathbf{Y}=\left[\begin{array}{cc}9.0& 1.0\\ 8.0& 1.5\\ 10.0& 0.5\\ 2.0& 9.0\\ 2.5& 8.5\\ 1.5& 9.5\end{array}\right]$$

Paso 2: Medias por grupo

• Grupo 1 (PPA = 1):

$${\bar{\mathbf{y}}}_1=\left[\begin{array}{c}(9.0+8.0+10.0)/3\\ (1.0+1.5+0.5)/3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9.0\\ 1.0\end{array}\right]$$

• Grupo 0 (PPA = 0):

$${\bar{\mathbf{y}}}_0=\left[\begin{array}{c}(2.0+2.5+1.5)/3\\ (9.0+8.5+9.5)/3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2.0\\ 9.0\end{array}\right]$$

• Media global:

$$\bar{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}5.5\\ 5.0\end{array}\right]$$

Paso 3: Matriz de suma de cuadrados entre grupos ($\mathbf{H}$ )

$${\bar{\mathbf{y}}}_1-\bar{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}3.5\\ -4.0\end{array}\right],{\bar{\mathbf{y}}}_0-\bar{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}-3.5\\ 4.0\end{array}\right]$$

Producto exterior:

$$({\bar{\mathbf{y}}}_1-\bar{\mathbf{y}})({\bar{\mathbf{y}}}_1-\bar{\mathbf{y}}{)}^{\top }=\left[\begin{array}{cc}12.25& -14.0\\ -14.0& 16.0\end{array}\right]$$

Entonces:

$$\mathbf{H}=3\cdot \text{arriba}+3\cdot \text{arriba}=6\cdot \left[\begin{array}{cc}12.25& -14.0\\ -14.0& 16.0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}73.5& -84.0\\ -84.0& 96.0\end{array}\right]$$

Paso 4: Matriz de suma de cuadrados dentro de grupos ($\mathbf{E}$ )

Desviaciones y productos exteriores:

• Grupo 1:

$${\mathbf{E}}_1=\left[\begin{array}{cc}2.0& -1.0\\ -1.0& 0.5\end{array}\right]$$

• Grupo 0:

$${\mathbf{E}}_0=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.5\\ -0.5& 0.5\end{array}\right]$$

Total:

$$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_1+{\mathbf{E}}_0=\left[\begin{array}{cc}2.5& -1.5\\ -1.5& 1.0\end{array}\right]$$

Paso 5: Lambda de Wilks

$$\Lambda =\frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{H}+\mathbf{E}|}$$

• $|\mathbf{E}|=(2.5)(1.0)-(-1.5)(-1.5)=2.5-2.25=0.25$
• $\mathbf{H}+\mathbf{E}=\left[\begin{array}{cc}76.0& -85.5\\ -85.5& 97.0\end{array}\right]$
• $|\mathbf{H}+\mathbf{E}|=(76.0)(97.0)-(85.5{)}^2=7372-7310.25=61.75$

$$\Lambda =\frac{0.25}{61.75}\approx 0.00405$$

Paso 6: Decisión

• $\Lambda \approx 0.004$ → valor muy pequeño.
• Conclusión: Se rechaza $H$
• ${}_0$ al nivel de significancia habitual (α = 0.05).
• Interpretación: Existen diferencias multivariadas significativas en los factores de riesgo entre granjas con y sin PPA.
• 5. 💡 Reflexión Didáctica El uso de matrices H y E permite analizar múltiples variables simultáneamente. La singularidad de E ocurre si n i ​ ≤p ; por eso se redujo a 2 variables. En la práctica, se usa software (R, Python, SPSS), pero entender el cálculo matricial es clave para interpretar resultados.
  
• 6. 📚 Referencias Johnson, R. A., & Wichern, D. W. (2007). Applied Multivariate Statistical Analysis (6th ed.). Pearson. World Organisation for Animal Health (WOAH). African Swine Fever. https://www.woah.org/en/disease/african-swine-fever/